Dérivées
Objectifs
Documents
- F. Liret et D. Martinais, Mathématiques pour le DEUG, Analyse 1ère Année (Dunod), chapitres 6, 7.
- I. Stewart, Analyse, concepts et contextes,volume 1, DeBoeck Université, 2001), chapitre 2, §2.6-§2.10, chapitre 3 et 4 L'accent est mis sur des situations "réelles" où interviennent la notion de dérivée et beaucoup d'exercices mettent en avant un problème de modélisation en rapport avec les notions mathématiques.
Guide
La pente de la droite passant par les points de coordonnées
M = (a , f(a)) et
N = (b , f(b)) est égale à
, c'est-à-dire au taux de variation de
f entre
a et
b.
Nombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente
Taux de variation :
Soit
f une fonction définie sur un intervalle
I de 
à valeurs réelles.
Le taux de variation (ou taux d'accroissement)
de
f entre les points
a et
b de
I est le quotient
Nombre dérivé :
Soit
f une fonction définie sur un intervalle fermé
I et
a un réel dans
I. Le nombre dérivé
de
f en
a est la limite, si elle existe, du taux de variation de
f entre
a et
a+h lorsque
h tend vers 0.
On le note
f'(a) :
| La droite jaune est la tangente au point M0 = (0,1 ) à la courbe d'équation y = f(x) avec f(x) = cos(x). Elle est de pente f'(a). C'est aussi la "limite" de la droite rouge M0 M pour M = (0 , f(0+h)) un point sur la courbe représentative du graphe de f tendant vers M0. |
Cependant, la courbe suivante a une tangente en un point et est le graphe d'une fonction n'admettant pas de nombre dérivé en ce point. )
Dessins
(certaines fonctions sont "plus jolies" que d'autres !)
| La droite jaune est la tangente au point M0 = (0,1 ) à la courbe d'équation y = f(x) avec f(x) = cos(x). Elle est de pente f'(a). C'est aussi la "limite" de la droite rouge M0 M pour M = (0 , f(0+h)) un point sur la courbe représentative du graphe de f tendant vers M0. |
Cependant, la courbe suivante a une tangente en un point et est le graphe d'une fonction n'admettant pas de nombre dérivé en ce point.
Tangente verticale
| Fonction | Variable | Taux de variation | Dérivée |
|---|---|---|---|
| distance parcourue | en fonction du temps | vitesse moyenne | vitesse ou vitesse instantanée |
| volume | en fonction du temps | débit moyen | débit (instantané) |
| masse d'une tige | en fonction de la longueur | densité linéique moyenne | densité linéique |
| masse d'une plaque | en fonction de la surface | densité surfacique moyenne | densité surfacique |
| charge électrique |
en fonction du temps | courant électrique moyen | courant instantané |
| coût de production |
en fonction de la quantité fabriquée | coût marginal | |
| taille d'une population | en fonction du temps | taux d'accroissement moyen | taux d'accroissement instantané |
| Ces fonctions dont le graphe est dessiné à côté sont continues. Le nombre dérivé existe en 1 si on "oublie les réels inférieurs à 1" (c'est ce qu'on appelle le nombre dérivé à droite ou la dérivée à droite), il existe en 1 si on "oublie les réels supérieurs à 1" (c'est ce qu'on appelle le nombre dérivé à gauche ou la dérivée à gauche ). Mais la dérivée n'existe pas en 1. |
Pour le deviner, plusieurs choses à regarder :
|
- Reconnaître le graphe de la dérivée d'une fonction à partir du graphe de la fonction parmi plusieurs graphes.
- Distinguer le graphe d'une fonction et de ses dérivées
Des exemples progressifs et détaillés sont donnés dans le livre de Stewart, volume 1, §3.2, p. 201 (fonctions produits et quotients), §3.5, p. 227 (fonctions composées).
Produit, quotient et composé
Exercices : domaine de dérivabilité
Dérivabilité et ordre de dérivabilité
Un exercice sur le cosinus